On the optimal design of airfoils

Abstract

During recent years, computer graphics techniques such as Free-Form Deformation (FFD), have become extremely useful and widely employed in the field of Aerodynamic Shape Optimization and particular throughout the design of airfoil sections. Although FFD is a powerful parameterization and deformation technique of any given arbitrary two- or three-dimensional shape, there is no guarantee that provides the preservation of the shape’s enclosed area or volume respectively, after its application. Given the importance of the structural integrity required by aerodynamic shapes, such as aircraft wings and wind turbine blades, the necessity of including a cross-sectional area preservation constraint (among several other geometrical and aerodynamic ones) arises during the optimization process of the airfoil sections forming the aforementioned applications. Even though previous works exist, where a cross-sectional area constraint is utilized, the implementation is done by either non-linear time consuming expressions or by penalty function approaches, which are not always sufficient and do not guarantee the exact satisfaction of a strict equality constraint throughout the design process. In this work an airfoil optimization scheme is presented, based on Area-Preserving Free-Form Deformation technique, which serves as an alternative approach for the handling and satisfaction of a strict cross-sectional area equality constraint, while a parallel Differential Evolutionary (DE) algorithm is utilized for the optimization procedure. The DE algorithm is combined with two Artificial Neural Networks (ANNs), a multilayer perceptron (MLP) feed-forward ANN and a Radial Basis Functions (RBF) network, which serve as surrogate models, to decrease the computational cost of the optimization procedure. In each iteration of the DE algorithm, before the evaluation of the fitness function for each candidate solution, an area preservation step is applied to that solution in order to meet the cross-sectional area constraint. The area preservation step is achieved by solving an area correction sub problem, which consists of computing and applying the minimum possible offset to each free-to-move control point of the FFD lattice, subject to the area conservation. Due to the linearity of the area constraint in each axis, the extraction of an inexpensive closed-form solution to the sub problem is possible by using Lagrange Multipliers method. The proposed technique overcomes the disability of Evolutionary Algorithms (EAs) to effectively treat strict equality constraints such as exact area preservation one. Throughout the optimization process both structural and aerodynamic requirements can be taken into account, as constraints while the objective function is focused on the improvement of aerodynamic efficiency. Additionally, the use of multiple surrogate models, in conjunction with the inexpensive solution to the area correction sub problem, render the optimization process time saving. This thesis demonstrates the applicability and effectiveness of the proposed methodology.

Κατά τη διάρκεια των τελευταίων ετών, τεχνικές προερχόμενες από τον τομέα των υπολογιστικών γραφικών, όπως η μέθοδος Ελεύθερης Παραμόρφωσης, έχουν γίνει εξαιρετικά χρήσιμες και ευρέως εφαρμόσιμες κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης εν γένει αεροδυναμικών σχημάτων και συγκεκριμένα αεροτομών. Αν και η Ελεύθερη Παραμόρφωση είναι μια πανίσχυρη τεχνική παραμετροποίησης και παραμόρφωσης οποιουδήποτε σχήματος αυθαίρετης γεωμετρίας, ύστερα από την παραμόρφωση του εκάστοτε αντικειμένου η ιδιότητα της διατήρησης του εμβαδού ή του όγκου, που περικλείεται από το σχήμα για διδιάστατα ή τριδιάστατα σχήματα αντίστοιχα, δεν παρέχεται. Δεδομένης της απαιτούμενης δομικής ακεραιότητας και αντοχής από αεροδυναμικές διατάξεις όπως πτερύγια, προκύπτει η αναγκαιότητα της συμπερίληψης ενός περιορισμού, με σκοπό την διάτρηση του εμβαδού, κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης π.χ. αεροτομών. Παρά το γεγονός της ύπαρξης εργασιών όπου ο περιορισμός της διατήρησης του εμβαδού χρησιμοποιείται κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης, η εφαρμογή του πραγματοποιείται είτε με μη-γραμμικές σχέσεις, οι οποίες αυξάνουν τον υπολογιστικό χρόνο, είτε με συναρτήσεις τιμωρίας, οι οποίες δεν είναι πάντα αποτελεσματικές και δεν εγγυόνται ότι ο αυστηρός περιορισμός ισότητας θα είναι ενεργός κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται μια νέα μεθοδολογία βελτιστοποίησης, βασισμένη στην τεχνική της Ελεύθερης Παραμόρφωσης με Διατήρηση του Εμβαδού Διατομής, η οποία λειτουργεί ως ένα εναλλακτικό μέσο χειρισμού και ικανοποίησης του παραπάνω περιορισμού ισότητας, ενώ ένας παράλληλος Διαφορικός Εξελικτικός (ΔΕ) αλγόριθμος χρησιμοποιείται για τη διαδικασία βελτιστοποίησης. Ο ΔΕ αλγόριθμος συνδυάζεται με δύο Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (ΤΝΔ), ένα Πολυεπίπεδο Perceptron (Multi-Layer perceptron - MLP) και ένα ΤΝΔ Ακτινικών Συναρτήσεων Βάσης (Radial Basis Function – RBF ANN), τα οποία λειτουργούν ως υποκατάστατα μοντέλα (surrogate models) με σκοπό τη μείωση του υπολογιστικού κόστους της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Σε κάθε επανάληψη του ΔΕ αλγορίθμου, προτού τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε υποψήφια λύση, ένα βήμα διόρθωσης του εμβαδού διατομής εφαρμόζεται στην υπό εξέταση γεωμετρία με σκοπό την ικανοποίηση του αντίστοιχου περιορισμού. Η υλοποίηση του παραπάνω βήματος επιτυγχάνεται μέσω της επίλυσης ενός υπο-προβλήματος διόρθωσης του εμβαδού διατομής, της υπο εξέταση γεωμετρίας, το οποίο αποτελείται από τον υπολογισμό και την εφαρμογή των ελάχιστων δυνατών μετατοπίσεων στα σημεία ελέγχου του ήδη παραμορφωμένου πλέγματος της Ελεύθερης Παραμόρφωσης, ώστε το εμβαδόν της παραγόμενης γεωμετρίας ύστερα από την εφαρμογή των προαναφερθέντων μετατοπίσεων να ισούται με το εμβαδόν αναφοράς. Λόγω της γραμμικότητας του περιορισμού ισότητας του εμβαδού σε κάθε έναν από τους κύριους άξονες, είναι δυνατή η εξαγωγή λύσης κλειστής μορφής στο υπό-πρόβλημα, χρησιμοποιώντας την τεχνική των πολλαπλασιαστών Lagrange. Η προτεινόμενη μεθοδολογία αντιπαρέρχεται την αδυναμία των Εξελικτικών Αλγορίθμων σχετικά με την αποτελεσματική διαχείριση των αυστηρών περιορισμών ισότητας. Κατά τη διάρκεια της βελτιστοποίησης τόσο τα αεροδυναμικά αλλά και τα δομικά απαιτούμενα χαρακτηριστικά από μία αεροτομή λαμβάνονται υπόψιν. Επιπλέον, η χρησιμοποίηση πολλαπλών υποκατάστατων μοντέλων, σε συνδυασμό με την υπολογιστικά πολύ αποδοτική λύση στο υπο-πρόβλημα διόρθωσης του εμβαδού, καθιστούν την διαδικασία βελτιστοποίησης χρονικά αποδοτική. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, η χρήση της προτεινόμενης μεθοδολογίας αποδεικνύει την εφαρμοσιμότητα και την αποτελεσματικότητά της.